Борис Иванович Волков родился 26 марта 1900 года в Москве. Его отец был служащим. В свободное время он любил рисовать, был художником-любителем. Способности к рисованию и живописи проявились у мальчика в годы учебы в I Мещанском городском училище. Кроме отца, решающее влияние на интересы мальчика оказал друг семьи В. Пономарев – художник в издательстве Сытина. Пономарев подарил мальчику много иллюстрированных книг, а однажды принес “раскладной театр”. В коробке оказалось несколько наборов кукол и полное сценическое оформление для спектаклей, а также книжка с текстами.

Школьный учитель рисования Алексеев, также обративший внимание на способности мальчика, посоветовал родителям отдать его в Московское училище живописи, ваяния и зодчества. Но родители посчитали, что ремесло в руках надежнее художественных кистей и отдали его в 1913 году учиться на ювелирное отделение Строгановского училища. За годы обучения в училище юноша освоил несколько специальностей (в т.ч. резьба по дереву, набойка по ткани) и, наконец, остановил свой выбор на декоративной мастерской, где в ту пору преподавал молодой театральный художник Ф.Ф. Федоровский. Разносторонняя ремесленная и художественная подготовка позволила Волкову в дальнейшем успешно освоить профессию театрального художника.

В свободное от учебы время юноша активно посещает театральные спектакли и дом художника Василия Дмитриевича Поленова, где изготовлялись декорации как для поленовского Народного театра, так и для многочисленных самодеятельных театральных коллективов. В этой мастерской Борис Иванович получил первые практические навыки по росписи театральных бутафорий и тканей. Поленов часто навещает мастерскую, общается с начинающими художниками, дает практические советы. За годы ученичества Волкову также посчастливилось неоднократно встречался с художниками Ап. Васнецовым и К. Коровиным, которые, по существу, заложили основы самобытной русской театральной живописи. Творчество этих художников, по словам Бориса Ивановича, оказало серьезное влияние на весь его творческий путь.

В 1916 году Волков по конкурсу попадает в труппу частной оперы Зимина. Он помогает декораторам, малярам, принимает участие статистом в спектаклях. Летом 1916 года в опере гастролировал Ф.И. Шаляпин, который с большой симпатией относился к театральной молодежи. Сценический опыт был также полезен в дальнейшем для постижения ремесла театрального художника.

Первые послереволюционные годы привнесли в искусство эстетику формализма. Для Волкова, как и для многих художников, воспитанных на реалистическом искусстве, это был период больших испытаний и искушений. Волков продолжает обучение в Строгановском училище, переименованное к тому времени в Высшие художественно-технические мастерские (Вхутемас). К чести Бориса Ивановича он смог сохранить в своем творчестве лучшие традиции русской реалистической живописи.

В 1923 году учеба была закончена. Началась самостоятельная деятельность в кино и театре в качестве художника-оформителя, заведующего постановочной частью, помощника режиссера.

Большое влияние на Волкова оказала работа под руководством В.И. Немировича-Данченко и его помощника Б.А. Мордвинова (который потом неоднократно приезжал в “Чайку”) в музыкальном театре (сегодня - Музыкальный театр им. К.С. Станиславского и В.И. Немировича-Данченко). Волков проработал в этом театре главным художником с 1941 по 1946 год, проведя всю Великую Отечественную в Москве. Одновременно он оформлял спектакли в Московском театре драмы.

Борис Иванович вел большую работу в Союзе советских художников, Московском союзе художников и постановочной секции Всероссийского театрального общества.